Voie Kp — état au 19 mai 2026
Cas-école méthodologique. Un acquis démontré, un candidat falsifié, une piste alternative ouverte.
La voie Kp n’est pas fermée ; elle est précisée.
§1 · Contexte
La voie K# primorielle agrégée a été fermée négativement par le théorème C-031 (orthogonalité de support Dirichlet entre ΛK# et Λζ′/ζ). Cette clôture est inscrite au journal F sous l’entrée F.7.
La voie alternative Kp local-primaire est définie par :
où B̃p est un opérateur local à associer à chaque premier p. Cette voie possédait, au sortir de C-031, deux verrous explicites :
- ¬DEF — B̃p n’est pas mathématiquement défini.
- ¬REG — la régularité opératorielle (Kp ∈ S2, convergence des traces, det2) n’est pas examinée.
La présente note rapporte les tests numériques exécutés sur le candidat (a) Cayley local — promu en priorité 1 par la note Kp initiale — et leurs conséquences sur les deux verrous.
§2 · Acquis démontré [D−finite]
Formule fermée pour la norme Hilbert–Schmidt
identiquement pour tout triplet Tp = {1, a, b} avec a, b ∈ Gp distincts de 1 et entre eux.
Vérification numérique : énumération exhaustive sur 92 premiers p ∈ [7, 500], 4 conventions canoniques de choix de Tp (QR, GEN, COURET, SYM). Coïncidence exacte à 10−15.
Démonstration analytique (esquisse)
Sur Gp cyclique d’ordre p − 1, on a :
Après centrage AT ↦ AT − (|T|/(p−1))·J et normalisation par |T| = 3 :
Conséquence sur ¬REG
L’opérateur Kpη(s) = ⨁p p−(s+η)·B̃p vérifie :
Convergence : la série ∑p p1 − 2σ converge ssi σ > 1. Sur la droite critique Re(s) = 1/2, convergence Hilbert–Schmidt ssi Re(η) > 1/2.
Levé. La régularité Hilbert–Schmidt est démontrée par formule fermée pour Re(η) > 1/2.
C-035 passe de [C] (conditionnel) à [D−finite] (vérifié par énumération sur 92 premiers, avec démonstration analytique de la formule fermée). La borne est exacte, pas conservatrice : aucune amélioration n’est possible via raffinement du triplet.
§3 · Résultat négatif [F] via F.8
Énoncé dépromu
« Le candidat (a) Cayley local avec |Tp| = 3 fournit une voie Kp recevable, sous une convention canonique de choix de Tp. »
Quatre tests numériques
Test 1 — Invariance des traces entre conventions
Pour p ≥ 19, les contributions individuelles au résidu DKp(s) sont identiques entre les conventions QR, GEN, SYM à la précision machine. Extrait du tableau (η = 0,3, s = 1/2 + 30i) :
| p | |DQR| | |DGEN| | |DSYM| | diff |
|---|---|---|---|---|
| 11 | 1,10 × 10−1 | 9,64 × 10−3 | 9,58 × 10−3 | 1,0 × 10−1 |
| 13 | 1,45 × 10−2 | 1,49 × 10−2 | 1,49 × 10−2 | 5,2 × 10−4 |
| 17 | 1,99 × 10−2 | 2,47 × 10−2 | 2,51 × 10−2 | 4,9 × 10−3 |
| 19 | 2,56 × 10−2 | 2,56 × 10−2 | 2,56 × 10−2 | 1,4 × 10−6 |
| 23 | 2,96 × 10−2 | 2,96 × 10−2 | 2,96 × 10−2 | 0 |
| 29 | 3,25 × 10−2 | 3,25 × 10−2 | 3,25 × 10−2 | 3,5 × 10−10 |
| 89 | 2,98 × 10−2 | 2,98 × 10−2 | 2,98 × 10−2 | 1,3 × 10−17 |
La bascule à p = 19 est nette : avant, les conventions divergent ; après, elles se confondent à la précision machine.
Test 2 — Coupe inférieure de la somme
Différence relative maximale entre conventions DQR, DGEN, DSYM selon le premier minimal inclus dans la somme :
| pmin | diff. rel. max | nb premiers |
|---|---|---|
| 7 | 2,56 × 10−1 | 92 |
| 11 | 2,61 × 10−1 | 91 |
| 13 | 1,78 × 10−2 | 90 |
| 17 | 1,86 × 10−2 | 89 |
| 19 | 7,73 × 10−5 | 88 |
| 23 | 8,44 × 10−5 | 87 |
| 29 | 9,49 × 10−5 | 86 |
Chute par un facteur ~14 quand on retire p = 11, puis ~200 quand on retire p ≤ 17. Toute discrimination apparente entre conventions vient des trois premiers p ∈ {11, 13, 17}.
Test 3 — Variation à p fixé
Pour p = 31, 14 triplets symétriques {1, k, p − k} avec k ∈ {2,…,15} :
- Tr(B̃p2) = 7/3 strictement constant (variation = 1,47 × 10−14).
- Tr(B̃p3) = 0,111 pour 12 triplets sur 14.
- Deux exceptions (k = 5, 6, soit a2 ≡ 25 mod 31) donnent 4,556 — structure quadratique.
Test 4 — Mécanisme structurel identifié
Pour Gp cyclique d’ordre p − 1, l’action du groupe d’automorphismes Aut(Gp) ≅ (ℤ/(p−1)ℤ)× sur les sous-ensembles {1, a, b} contenant 1 est quasi-transitive pour p grand : presque tous les triplets sont équivalents par automorphisme. Donc Tr(B̃pm) ne dépend, asymptotiquement, que de la cardinalité |Tp| = 3, et non du choix particulier des éléments.
Non levé, et désormais structurellement falsifié pour la classe |Tp| = 3.
C-033 (candidat (a) priorité 1) passe de [P] à [F]. C-034 (¬DEF structuré) passe de [O] à [F] pour cette classe. Inscription au journal F sous l’entrée F.8.
Aucune convention de choix de Tp dans la classe |Tp| = 3 ne peut produire de médiation différenciante au sens de TD4. La cardinalité fixe |Tp| = 3 est insuffisante.
§4 · Piste alternative [O] C-036
Sous-groupes d’ordre 3 quand 3 ∣ p − 1
Quand 3 divise p − 1, Gp contient un unique sous-groupe d’ordre 3 : Hp = {1, ω, ω2} avec ω3 = 1, ω ≠ 1. La densité de ces premiers est asymptotiquement 1/2 (par Dirichlet).
[D−finite]Si Tp = Hp sous-groupe d’ordre 3, alors B̃Hp est un projecteur orthogonal sur l’espace des fonctions Hp-invariantes centrées.
Conséquence immédiate : B̃Hpk = B̃Hp pour tout k ≥ 1. Donc Tr(B̃Hpk) = Tr(B̃Hp) = (p−4)/3 pour tout k ≥ 1.
Vérification numérique : pour p ∈ {7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97} — coïncidence exacte.
Discrimination par sous-groupe vs générique
| p | Tp = H (sous-groupe) | Tr(B̃H3) | Tp = {1, 2, 3} | Tr(B̃gen3) |
|---|---|---|---|---|
| 7 | {1, 2, 4} | 1,000 | {1, 2, 3} | −0,556 |
| 13 | {1, 3, 9} | 3,000 | {1, 2, 3} | −0,111 |
| 19 | {1, 7, 11} | 5,000 | {1, 2, 3} | −0,333 |
| 31 | {1, 5, 25} | 9,000 | {1, 2, 3} | 0,111 |
| 43 | {1, 6, 36} | 13,000 | {1, 2, 3} | 0,556 |
| 67 | {1, 29, 37} | 21,000 | {1, 2, 3} | 1,444 |
| 97 | {1, 35, 61} | 31,000 | {1, 2, 3} | 2,556 |
Différence structurelle : pour m ≥ 3, les sous-groupes donnent Tr(B̃Hm) = (p−4)/3 ∼ p/3, tandis que les triplets génériques donnent Tr(B̃genm) = O(1) centré autour de 0.
Définition tentative
Problèmes ouverts
- Kp,sub ne couvre que la moitié des premiers. La structure des p avec 3 ∤ p−1 (p = 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, …) n’est pas traitée. Sous-groupes d’ordre 2 ({1, −1}) trivialement disponibles, mais |Tp| = 2 change la structure de toute l’analyse.
- TD4 pour Kp,sub n’a pas été testé. Il faudra comparer plusieurs ordres de sous-groupes (3, 5, 7) selon la divisibilité.
- L’analogie avec les caractères de Dirichlet primitifs (au lieu de la simple structure mod p) suggère une voie alternative encore plus structurée : caractères cubiques pour les p avec 3 ∣ p − 1.
Statut : C-036 inscrit comme [O] avec cahier des charges à préciser. Pas de promotion.
§5 · Position épistémique
Le candidat (a) naïf avec |Tp| = 3 est éliminé proprement, avec mécanisme structurel identifié, par 92 calculs exacts sur 4 conventions. Ce n’est pas un échec ; c’est l’application réussie de la discipline du programme à un cas concret.
La voie Kp globale n’est pas fermée par ce résultat. Elle est précisée : son cahier des charges devient explicite. Il faut un candidat structurel, non un candidat combinatoire arbitraire.
La leçon de F.8 fait écho à celle de F.7 (clôture de K# par C-031), un cran plus fin. Dans les deux cas, ce n’est pas une mesure qui survit à 10−3 ou une coïncidence numérique qui décide, mais une obstruction structurelle identifiée — orthogonalité de support Dirichlet pour K#, action quasi-transitive d’Aut(Gp) pour Kp.
On ne publie pas Kp comme promesse.
On publie Kp comme cas-école :
ce qui est démontré, ce qui est falsifié, ce qui reste ouvert.
§6 · Reproductibilité publique
Conformément à la doctrine du statut [M−solide] (Annexe G §G.2 : « protocole expérimental complet, script publié, seed fixée, hash SHA-256, reproductibilité vérifiée »), les artefacts de calcul sont publiés au titre de la reproductibilité.
note_Kp_2_resultats.pdf
Note technique complète. Sceau doctrinal, cinq sections, annexe numérique.
setup.py
Définition des 4 conventions (QR, GEN, COURET, SYM) et des fonctions de mesure. NumPy + SymPy. Calcul du spectre σ(B̃p), des normes ‖B̃p‖op et ‖B̃p‖HS2, des traces Tr(B̃pm) pour m ∈ {1, 2, 3, 4}.
results_full.json
Résultats complets pour les 92 premiers p ∈ [7, 500], 4 conventions. Clés racines : QR, GEN, COURET, SYM. Pour chaque convention et chaque premier : Tp effectif, spectre, normes, traces.
Commande minimale de reproduction
$ python3 -c "
from setup import test_all_conventions
import json
results = test_all_conventions(prime_max=500)
with open('results_full.json', 'w') as f:
json.dump(results, f, indent=2)
"
$ sha256sum results_full.json
# Doit afficher : 411768c01b3dd1856542deec83b4f838c53a90a014fc05daa03d0ed348e3e78a
Précision : float64 NumPy. Vérifications à 10−12 et 10−15. Aucun calcul mpmath nécessaire (résultats portent sur formules fermées combinatoires).
Ces fichiers sont publiés au titre de la reproductibilité. Ils documentent des résultats négatifs propres : la dépromotion structurellement motivée du candidat (a) Cayley local naïf pour la voie Kp. La publication des artefacts garantit que la discipline T12 (procédure de dépromotion publique) a été suivie : aucune dépromotion silencieuse, aucune réécriture rétroactive.
§7 · Bilan
Formule fermée ‖B̃p‖HS2 = (p−4)/3. Sous-verrou ¬REG levé pour Re(η) > 1/2.
Tautologie asymptotique du candidat (a) avec |Tp| = 3. Sous-verrou ¬DEF structurellement falsifié pour cette classe.
Candidat alternatif (a’) Kp,sub avec Tp sous-groupe d’ordre 3 quand 3 ∣ p−1. Cahier des charges explicite.
Prochaines étapes
- Examen du candidat (a’) sous-groupe : tester Kp,sub avec Tp = Hp sous-groupe d’ordre 3 et structure parallèle pour les autres p.
- Examen via caractères de Dirichlet cubiques de Gp, dont le support de Dirichlet sur les fréquences eulériennes est canoniquement structuré.
- Formalisation Lean 4 de la formule fermée ‖B̃p‖HS2 = (p−4)/3 : module
Core.KpHilbertSchmidt.
RHClaimed = false HilbertPolyaClaimed = false Det2IdentityClaimed = false GoldbachProofClaimed = false EngineeringVerdictClaimed = false ScopeExpansionClaimed = false
Le programme ne revendique pas une fermeture globale ; il construit une discipline du passage, capable de démontrer, mesurer, dépromouvoir et clore proprement les voies fausses.