Vous êtes ici : Domaine V · Goldbach local et MU210 · Symétrie Ga(N) = G_{N−a}(N)
[D] démontré
Ce que vous allez lire

Une symétrie miroir exacte : le nombre de représentations de Goldbach de N dans la classe a mod 30 égale celui de la classe N−a. Prouvée par l’involution (p,q)↦(q,p).

Pourquoi ça compte

Un fait fini certifié — vérifié jusqu’à N = 30030 et démontré en une ligne. La facette la plus solide de l’axe Goldbach mod 30.

Ce que ça ne dit pas

Ni que les représentations existent (Goldbach reste conjecture), ni qu’elles se répartissent uniformément. C’est le miroir a↔N−a, pas une loi de distribution. Équirépartition [H], biais secondaire [O] restent séparés.

À lire à côté

Les autres fiches du Domaine V (loi jointe MU210, modèle nul) — encore en attente de matière.

Symétrie de Goldbach — le miroir a ↔ N−a : le nombre de représentations de Goldbach de N dont un terme tombe dans la classe résiduelle a modulo 30 égale exactement celui de la classe N−a. Un fait fini, vérifié numériquement et prouvé en une ligne par l’involution (p, q) ↦ (q, p).

Statut épistémique — composite (D · M)

Dla symétrie Ga(N) = G_{N−a}(N) est démontrée exactement, pour tout N pair et tout a, par une involution
Mvérifiée numériquement sur une large plage (jusqu’à N = 30030, symétrie parfaite)
Ce que cela montre

que la répartition des représentations de Goldbach par classe mod 30 est symétrique : la classe a et la classe N−a portent toujours le même compte, exactement, sans exception.

Ce que cela ne prouve pas

ni que les représentations existent (c’est la conjecture de Goldbach, non touchée ici), ni qu’elles se répartissent uniformément entre classes. C’est une symétrie miroir, pas une loi de distribution.

Risque de mauvaise lecture — prendre cette symétrie exacte pour un résultat sur la densité ou l’équirépartition de Goldbach. Elle ne dit rien de la taille des comptes ni de leur égalité entre classes non appariées : seulement que a et N−a sont toujours à égalité.
Régime · démonstratif (involution) et expérimental (vérification numérique)
[D] Démontré

Une symétrie exacte, prouvée par involution

On fixe le module 30 et on compte les représentations ordonnées. Pour un entier pair N et une classe a modulo 30 :

G_a(N) = #{ (x, y) : x + y = N, x et y premiers, x ≡ a (mod 30) }

L’énoncé est la symétrie miroir suivante, pour tout a :

G_a(N) = G_{N−a}(N) (N pair, a ∈ ℤ/30ℤ)

La preuve tient en une ligne. L’application (x, y) ↦ (y, x) est une involution sur l’ensemble des représentations ordonnées de N (si x + y = N avec x, y premiers, alors y + x = N aussi). Or si x ≡ a, alors y = N − x ≡ N − a. Cette involution réalise donc une bijection entre les représentations classées « x ≡ a » et celles classées « x ≡ N − a » :

(x, y) ↦ (y, x) : { x ≡ a } ⟷ { x ≡ N − a } ⟹ G_a(N) = G_{N−a}(N)

La symétrie est donc structurelle et sans exception — elle ne dépend d’aucune propriété fine des premiers, seulement de la commutativité de l’addition. La vérification numérique le confirme sur toute la plage testée.

Vérifié par calcul exact (sympy) pour N ∈ {100, 210, 500, 1000, 2310, 5000, 9996, 30030} : symétrie parfaite dans tous les cas. Preuve : involution (p,q)↦(q,p).
Ce que ce bloc montre
  • une symétrie exacte, prouvée et vérifiée
  • un mécanisme élémentaire : l’involution de sommation
  • une propriété robuste du cadre Goldbach mod 30
Ce que ce bloc ne prouve pas
  • rien sur l’existence des représentations (Goldbach reste conjecture)
  • rien sur l’équirépartition entre classes non appariées
  • aucune conséquence sur ζ ou les zéros
[H] · [O] Ce qui reste, autour

La symétrie n’est pas la distribution

Cette fiche isole la seule facette démontrée de l’axe Goldbach mod 30. Deux autres facettes, distinctes, ne sont pas ici acquises : l’équirépartition conjecturale des comptes entre classes admissibles relève de Hardy–Littlewood et reste heuristique [H] ; et l’existence éventuelle d’un biais secondaire (au-delà de la symétrie miroir) reste ouverte [O]. La symétrie a ↔ N−a est vraie indépendamment de ces questions — et ne les tranche pas.

Ce que ce bloc montre
  • la place exacte de la symétrie dans l’axe composite
  • la séparation nette entre [D], [H] et [O]
Ce que ce bloc ne prouve pas
  • ni l’équirépartition [H], ni l’absence de biais [O]
  • aucune de ces facettes ne « monte » par la symétrie
La symétrie Ga(N) = G_{N−a}(N) est exacte, élémentaire et certifiée.
Elle dit que le miroir a ↔ N−a est parfait — pas que la distribution
soit uniforme, ni même que Goldbach soit vraie. Un fait fini, tenu à sa place.
Pourquoi cette fiche compte. Elle montre la discipline sur un cas facile à surévaluer : une symétrie parfaite, exacte, vérifiée — et pourtant présentée pour ce qu’elle est, une involution de sommation, sans lui faire dire un mot de plus sur la distribution de Goldbach ou sur ζ. Le fini certifié, séparé du conjectural [H] et de l’ouvert [O].
Item : Symétrie de Goldbach — Ga(N) = G_{N−a}(N) (id : goldbach-symetrie) — slug à confirmer
Statut global : composite (D · M) — symétrie démontrée [D], vérifiée numériquement [M] ; s’inscrit dans l’axe Goldbach mod 30 (D · H · M · O)
Méthode : involution (p,q)↦(q,p) ; vérification par calcul exact jusqu’à N = 30030
Domaine : Goldbach local et MU210 · Recherches
Référence : preuve élémentaire ; vérification sympy (2026-07-01)
Dernière mise à jour du statut : 2026-07-01
Citation BibTeX : @misc{couret2026goldbachsym, author={Couret, A.}, title={Symetrie de Goldbach Ga(N)=G(N-a)(N) mod 30, par involution}, year={2026}, url={https://www.couretunification.fr/publications/goldbach-symetrie/}}

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