Spectre de Cayley {3², 1⁴, (−1)²} ; un des trois résultats centraux.
Démontré — AlgebraTC.lean
Les 8 classes copremières à 30 : {1,7,11,13,17,19,23,29}.
l’alphabet du programme : tout premier > 5 tombe dans l’une des 8 classes.
aucune loi globale sur les premiers.
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Vous êtes sur le sol le plus solide du programme. En « écoutant » les huit familles par l’outil des fréquences, le spectre n’a que trois valeurs : 3, 1, −1. C’est de ce fait exact que l’échelle λ découle.
Elle établit que l’opérateur du triplet sur le noyau fini n’a que trois valeurs propres distinctes : un fait exact, vérifié par machine (Lean 4, sans sorry). Elle ne dit rien du spectre de la fonction zêta, ni des zéros de Riemann.
Le spectre exact de l’opérateur du triplet sur le noyau fini : trois valeurs propres, et trois seulement — un fait arithmétique, non un écho du spectre de ζ.
qu’en « écoutant » la structure des huit familles par l’outil des fréquences (Fourier), on n’obtient que trois valeurs propres distinctes.
aucun lien au spectre de la fonction zêta, aux zéros de Riemann, ni à un opérateur de Hilbert–Pólya.
Sur le noyau fini associé à G₃₀, on considère l’opérateur construit à partir du triplet canonique T_C = {1, 11, 29} agissant par convolution. En diagonalisant cet opérateur dans la base des caractères de Dirichlet, on obtient un spectre étonnamment simple :
La somme des carrés des valeurs propres pondérées par leurs multiplicités vaut 2·9 + 4·1 + 2·1 = 24, ce qui correspond à l’identité de Parseval sur l’espace de dimension 8. Le fait remarquable n’est pas la valeur de la somme, mais la trichotomie elle-même : seulement trois valeurs propres distinctes, là où un opérateur générique en aurait davantage. Deux de ces valeurs sont négatives — un point corrigé au Journal F (la première annonce, toute positive, était fausse).
C’est un fait exact, fini, et vérifié par machine : on calcule les huit valeurs propres et on constate qu’elles ne prennent que trois valeurs.
sorry · vérification par native_decide.La tentation est forte d’interpréter une structure spectrale simple comme l’indice d’un lien aux zéros de la fonction zêta — c’est le rêve de Hilbert–Pólya. Mais ici, le spectre est celui d’un opérateur fini explicite sur un espace de dimension 8 ; il n’y a aucun pont établi vers le plan complexe, les zéros de ζ, ou un quelconque opérateur auto-adjoint dont les valeurs propres seraient ces zéros. La voie qui aurait pu construire un tel pont (K#) a même été démontrée impossible (théorème C-031).