Part I · Le Noyau Fini

Le triplet de Couret et le théorème de classification

Tout premier > 5 appartient à l’une des huit classes résiduelles G = (ℤ/30ℤ)× = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. Par le théorème chinois des restes, G ≅ C₂ × C₄.

Bernard Couret a identifié un triplet distingué : TC = {1, 11, 29}. La matrice de Cayley A ∈ M₈(ℤ) associée est symétrique, avec sommes de lignes égales à 3 et valeurs propres entières {-1, -1, 1, 1, 1, 1, 3, 3}. Les identités de trace : Tr(A) = 8, Tr(A²) = 24, Tr(A³) = 56.

Opérateur de Couret TC (convolution finie sur G) — Théorème 3.1 — Classification des triplets (paires conjuguées {7,13} et {17,23}) à spectre entier

Parmi les 21 triplets contenant l’identité dans C₂ × C₄, exactement 5 donnent un spectre de Fourier entier. Ce sont précisément les triplets satisfaisant l’un des critères :

Type A : y₁, y₂ ∈ {0, 2} (coordonnées C₄ auto-conjuguées).
Type B : {y₁, y₂} = {1, 3} avec x₁ = x₂ (paire conjuguée, même fibre C₂).

La transition est qualitative — une transition de phase du spectre rationnel à l’irrationnel, pas une déformation continue. La classe exceptionnelle est structurellement rigide : 5/21 = 23.8%.

Le profil spectral est identique pour les cinq : |F̂|² = (9, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1). Deux modes dominants (caractère trivial + caractère quadratique mod 5) portent 18/24 = 75% de l’énergie spectrale. Parseval : 9+1+1+1+9+1+1+1 = 24 = 8 × 3.

Théorème 4.1 — Classification complète : 63 sur 255 sous-ensembles

Exactement 63 des 255 sous-ensembles non vides de G ont un spectre de Fourier entier. Distribution par cardinalité : 4 + 8 + 12 + 14 + 12 + 8 + 4 + 1 = 63 = 2⁶ − 1.

Le critère est la conjugaison-invariance : g ∈ S ⇔ ḡ ∈ S, où (a,b)̄ = (a, −b mod 4). Spectre entier ⇔ indicatrice invariante par conjugaison. Les paires {7, 13} et {17, 23} doivent être sélectionnées conjointement, donnant 2⁴ × 2² − 1 = 63.

Formalisé dans Lean 4 sans native_decide, zéro sorry.

Chaîne d’identités exactes — de |TC| à λ = 1/√7

|TC| = 3 →Parseval |F̂|²max/(8|TC|) = 3/8 →Fisher–Rao BC = √3/2 = cos(π/6) →géodésique dFR = π/3 →IPR IPR = 3/7 = |TC| · λ² →dimension λ = 1/√7

Théorème 6.1 : Pour tout triplet à spectre entier, le coefficient de Bhattacharyya est BC = √3/2 = cos(π/6), et la distance Fisher–Rao à l’uniforme est dFR = π/3 exactement.

Théorème 6.3 (Décomposition de Parseval) : ‖P‖² = ‖P̄‖² + ‖ΔP‖² = 72 + 96 = 168. Fraction d’énergie cohérente CEF = 72/168 = 3/7 = |TC| × λ².

Dualité triplet–quadruplet : Les 6 quadruplets extrémaux portent IPR = 4/7 = 1 − 3/7. La paire épuise la capacité d’information : 3/7 + 4/7 = 1.

25 résultats certifiés machine (Route C build ✓)

# Résultat Fichier Méthode
1 Spec(A) = {3²,1⁴,(−1)²} CayleySpectrum native_decide
2 (A−3I)(A−I)(A+I) = 0 CayleySpectrum native_decide
3 8 eigenvectors orthogonaux non nuls CayleySpectrum native_decide
4 altVec unique centré pour λ=3 CenteredEigenspace omega
5 63/255 classification exhaustive Classification63 native_decide
6 8 coefficients de Fourier de TC Classification63 native_decide
7 Parseval = 24, E = 3 (L3, L4) Parseval + InvariantE native_decide
8 Parseval = 960, E = 2 (L5) ParsevalL5 native_decide
9 gcd(11, 2310) = 11 (correction v17→v18) ParsevalL5 native_decide
10 E/|TC_cop| = 1 aux 3 niveaux ParsevalL5 norm_num
11 Formule Lk, k = 1..10 FormuleLk norm_num
12 Paires L2j−1 = L2j FormuleLk norm_num
13 Lk > 2 pour tout k FormuleLk norm_num
14 Kurtosis brute 7/3 Kurtosis norm_num
15 Ratio non trivial 5/3 Kurtosis norm_num
16 Variance centrée σ² = 2 Kurtosis norm_num
17 Gap κ = 2 sur H° ∩ altVec⊥ FiniteCore preuve algébrique
18 λ² = 1/7 Lambda nlinarith
19 ker(210→30).card = 6 ConcreteKernel210 native_decide
20 TC auto-inverse (1²=11²=29²≡1) TCAutoInverse native_decide
21 TC non sous-groupe (11·29≡19∉TC) TCAutoInverse native_decide
22 J²=−I impossible dim impaire OddDimComplexObstruction nlinarith+omega
23 Cayley DÉCONNECTÉ (2 composantes) CayleyConnected native_decide
24 Diamètre = 2 dans chaque composante CayleyConnected native_decide
25 Correction erreur #31 : connexité fausse CayleyConnected native_decide

Profil spectral |F̂|² = (9, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1)

9
ζ(s)
9
L(·/5)
1
L(·/3)
1
L(·/15)
1
L(ψ₁)
1
L(ψ̄₁)
1
L(χ₁ψ₁)
1
L(χ₁ψ̄₁)

Pont trigonométrique–arithmétique — Caractères ↔ L-fonctions

Les 8 caractères χu,v de C₂ × C₄ correspondent aux 8 caractères de Dirichlet modulo 30. La factorisation 30 = 2·3·5 donne χu,v = χ(3)u ⊗ ψ(5)v.

(u,v) mod 3 mod 5 F̂ L-fonction
(0,0) trivial trivial +3 ζ(s) (Riemann)
(0,2) trivial quadratique +3 L(s,(·/5))
(1,0) quadratique trivial −1 L(s,(·/3))
(1,2) quadratique quadratique −1 L(s,(·/15))
(0,1),(0,3) trivial quartique +1 L(s,ψ₁), L(s,ψ̄₁)
(1,1),(1,3) quadr. quartique +1 L(s,χ₁ψ₁), L(s,χ₁ψ̄₁)

Les deux modes dominants (|F̂|² = 9) correspondent à ζ(s) et L(s,(·/5)). La dominance n’est pas une coïncidence numérique mais une conséquence structurelle des propriétés de TC dans C₂ × C₄.

1 7 11 13 19 17 29 23 19 Cay(G₃₀, TC) · TC = {1, 11, 29} · fantôme = 19