Les 8 classes copremières à 30 ; l'alphabet du programme, certifié Lean.
Démontré — structure finie
Les 8 classes copremières à 30 : {1,7,11,13,17,19,23,29}.
l’alphabet du programme : tout premier > 5 tombe dans l’une des 8 classes.
aucune loi globale sur les premiers.
Les huit restes copremiers à 30 — l’alphabet fini du programme, exact et clos ; non une loi sur les premiers.
l’alphabet du programme : tout entier premier avec 30 — donc tout premier au-delà de 5 — appartient à l’une des huit classes.
aucune loi globale sur les premiers, aucune information sur leur densité dans chaque classe au-delà du fait d’appartenance.
Un entier a est inversible modulo 30 si et seulement s’il est premier avec 30, c’est-à-dire s’il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. Entre 1 et 30, exactement huit entiers vérifient cette condition :
U₃₀ = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
Leur nombre est donné par l’indicatrice d’Euler : φ(30) = φ(2)·φ(3)·φ(5) = 1·2·4 = 8. Ces huit classes sont l’alphabet sur lequel tout le programme est écrit : puisque tout nombre premier supérieur à 5 est nécessairement premier avec 30, il tombe forcément dans l’une de ces huit classes. C’est un crible — le crible modulo 30 que Bernard Couret dressait à la main.
L’ensemble est exact (on peut le lister entièrement), clos (le produit de deux classes admissibles reste admissible — c’est ce qui en fait le groupe G₃₀), et vérifiable case par case.
sorry · certification computationnelle (native_decide).Savoir que tout premier > 5 tombe dans l’une des huit classes est un fait de crible, élémentaire. La question profonde — comment les premiers se répartissent entre ces huit classes, à quelle densité, avec quels biais — relève de la théorie analytique (théorème de Dirichlet sur la progression arithmétique, et au-delà). U₃₀ pose le cadre ; il ne le remplit pas.